1
number of solutions depending on size of matrix A in Ax = b
набор эквивалентных определений обратимости
Ax = 0 — это линейная комбинация столбцов: они все линейно независимы <=> существует только решение x=0
what matrices commute with a diagonal? with diag(t_1, …, t_n), where t_1 >= … >= t_n?
what matrices commute with all matrices?
2
корни характеристического и минимального совпадают
Ax = λx
A^k x = λ^k x – this is used in the following polynomial
m(A) x = m(λ) x = 0
spec(AB) = spec(BA), det(AB) = \lambda^{n-m} det(BA)
3
TODO: https://ru.wikipedia.org/wiki/Определитель_Вандермонда
4
$B \in M_n$, $\operatorname{rank}(B) = k$
$\operatorname{rank}(\hat{B}) \ = \ ?$
2:20:30
задача 10:
사무엘 김, [18.12.19 17:05]
Найти ранг матрицы где элементы квадрат разности
Alejandro, [18.12.19 17:24]
идея офигенная. Только одно там надо доделать. У тебя исходная матрица раскладывается в виде A = B C,
где
B =
1 1 1
…
n^2 n 1
Получается, ранг ≤ 3, потому что есть вторая матрица в разложении.
5
$\operatorname{dim} V = \operatorname{dim}\operatorname{Im} \alpha + \operatorname{dim}\operatorname{Ker} \alpha$
2:43:42 как находить собственные векторы
единственное место, где нужна ФСР
Basis in null space.
TODO:
1:22:42 линейный оператор в разных базисах, A’ = C^{-1} A C
1:26:12 пример: сопряжены ли данные матрицы? ( 1 0 \ 0 0 ) и ( 0 0 \ 0 1 )
1:30:22 пример: сопряжены ли данные матрицы? ( 2 1 \ 1 0 ) и ( 2 1 \ 1 -1 )
1:31:26 можно составить и решить ситему с четыремя неизвестными, а можно посмотреть на инварианты:
tr(C^{-1} A C) = tr(A)
det(C^{-1} A C) = det(A)
χ_{C^{-1} A C} (t) = χ_A (t)
TODO:
2:16:46 пример: дана матрица A = (1 2 3 4 \ … 16)_{4x4}, найдите rk(A^2019)
2:18:54 лемма о стабилизации
TODO: Change of basis $A’ = D^{-1} A C$
TODO: https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product, det, trace, eigenvalues, https://digitalcommons.unf.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1025&context=etd –
TODO: X^2 = A
6
$tr(A) = n_1 \lambda_1 + \ldots + n_k \lambda_k$
$det(A) = \lambda_1^{n_1} \cdots \lambda_k^{n_k}$
if there’s a zero eigen value, then determinant is zero
P^2 = P and geometric definition
$\operatorname{diag}(a+bi, a-bi)$ can become real in some basis:
7
8
SVD
Proof that symmetric matrices are diagonalizable with real eigenvalues
misc
orthogonal matrices rotate or mirror, but never stretch
нильпотентна => след нулевой — неплохая задача
спойлер: удостоверимся, что A^k = 0, значит A^n = 0, это дает собственные значения, затем приводим к жнф, у нее след такой же
спойлер: или отсюда следует: 1:59:19 (1) χ_A(λ) = λ^n - tr(A) λ^{n-1} + … + (-1)^n det(A)
нильпотентна => след нулевой
более общий гроб: A \in M_n(R) нильпотентна тогда и только тогда, когда tr (A^k) = 0 для любого k <=n
ellipse to sphere – https://sites.math.washington.edu/~king/coursedir/m308a01/Projects/m308a01-pdf/brown.pdf
TODO: Im and Ker basis – https://math.stackexchange.com/questions/2078943/row-operations-do-not-change-the-dependency-relationships-among-columns